Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς

Σκοπός

Σκοπός του μαθήματος είναι η γνωριμία και εξοικείωση του φοιτητή με αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων που εμφανίζονται στις επιστήμες του μηχανικού. Στα πλαίσια του μαθήματος γίνεται μια εισαγωγή στις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών, πεπερασμένων στοιχείων, και συνοριακών στοιχείων, για διάφορες κατηγορίες προβλημάτων. Στόχοι είναι α) η κατανόηση βασικών θεμάτων κατασκευής και υλοποίησης αριθμητικών μεθόδων για το πρόβλημα συνοριακών τιμών δύο σημείων και για προβλήματα που περιγράφονται από απλές γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, και β) η κατανόηση βασικών ποιοτικών χαρακτηριστικών αριθμητικών μεθόδων όπως η ευστάθεια, η συνέπεια, η σύγκλιση, κλπ.

Περιγραφή

Εισαγωγή: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ). Ταξινόμηση ΜΔΕ. Περιγραφή των βασικών ΜΔΕ της μαθηματικής φυσικής. Λογισμός Πεπερασμένων Διαφορών.
Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών: Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για το πρόβλημα των δύο σημείων. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για παραβολικά, ελλειπτικά και υπερβολικά προβλήματα. Ευστάθεια και σύγκλιση μεθόδων.

Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων: Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα των δύο σημείων. Εισαγωγή στα πεπερασμένα στοιχεία σε πολλές διαστάσεις. Εισαγωγή στην έννοια της ασθενούς παραγώγου και της μεταβολικής διατύπωσης προβλημάτων συνοριακών τιμών. Συναρτήσεις βάσης και διακριτοποίηση. Πίνακες μάζας, ακαμψίας, και μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Εκτιμήσεις σφάλματος.

Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων: Ολοκληρωτική διατύπωση της εξίσωσης Laplace. Θεωρήματα Green. Δυναμικά απλού και διπλού στρώματος. Διακριτοποίηση της ολοκληρωτικής εξίσωσης. Τύποι στοιχείων. Προσεγγίσεις χαμηλής και ανώτερης τάξης. Ολοκληρωτική διατύπωση του προβλήματος της ελαστικότητας. Μέθοδος συνοριακών στοιχείων σε ελαστοστατικά προβλήματα.

Βιβλιογραφία

1. Δουγαλής, Β. (2013). Finite element methods for the numerical solution of partial differential equations. Αθήνα. (Πανεπιστημιακές Σημειώσεις).
2. Χατζηπαντελίδης, Π., Πλεξουσάκης, Μ., 2015. Αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. Διαθέσιμο στο: http://hdl.handle.net/11419/665
3. Morton, K. W., & Mayers, D. F. (2005). Numerical solution of partial differential equations (Second ed.). Cambridge University Press, Cambridge.
4. Larsson, S., & Thomée, V. (2009). Partial differential equations with numerical methods (Vol. 45). Springer-Verlag, Berlin.
5. Johnson, C. (1987). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press, Cambridge.
6. Paris, F., & Canas, J. (1997). Boundary Element Method, Oxford University Press, Oxford.
7. Jawson, M.A., & Symm, G.I. (1977). Integral equation methods in potential theory and elastostatics, Academic Press.
8. Atkinson, K.E., (2009). The numerical solution of integral equations of the second kind, Cambridge University Press.